【奥5分pk10数揭秘】学解题思维 简短未必好

2019-05-15 01:42:05  阅读 40 次 评论 0 5分pk10条

  看书时看到一道几何5分pk10题,试做做看,也算做到了,先分享一下,再谈谈自己怎样想出来的。

  问 题

  P是等边△ABC边BC上一点,连AP,作AP的垂直平分线分别交AB及AC于M及N。求证:BP.PC = BM.CN。(图一)

  答 案

  如图二,由垂直平分线的条件,已知△ADN?△PDN (SAS)及△ADM?△PDM (SAS)。

  设∠NPC = 2θ,则由三角形的外角,得∠AND=[60o+2θ] [2]=30o+θ。

  然后由三角形内角和,得知△AMD=180o-60o-(30o+θ)=90o-θ。

  再由直线上的邻角,得∠PMB=180o-(90o- θ)×2=2θ。

  由于△ABC为等边三角形,∠B=∠C=60o,因此△BPM?△NCP(AA)。

  于是[BP] [CN]=[BM] [PC],即BP.PC = BM.CN。

  解题的想法怎样来的?其实题目结果里的线段,BM、BP、PC和CN,都是△MBP和△PCN的边,而由于∠B和∠C都是60o,算式又可以变成[BP] [CN]=[BM] [PC],因此解题就会沿△MBP和△PCN的相似性入手。

 &n5分pk10bsp;另外,两个三角形已经各有一只角相等,因此只需要找到另外一只角相等就行。P点是两个三角形的公共点,沿P点有两个三角形的内角,因此设未知数时在P点附近的角,大概会比较方便,因此便取了∠NPC为2θ。至于为何要2θ,而不是θ,也是有原因的。图中△ADN和△PDN全等是很易看出来的,也会看到∠AND和∠PND一样,若果将∠AND用∠NPC=2θ来表示,那样就不会出现分数,否则若果设∠NPC=θ的话,∠AND会变成30o+[θ] [2],计算起来可能要通分母,比较麻烦,因此设∠NPC为2θ比较好。

  设了∠NPC为2θ之后,方向已经明显地要证明∠PMB也是2θ,那才可以进一步证明△MBP和△PCN相似。这个由∠PMB的邻角考虑,把它们都用上了θ来表示,大概也差不远,而事实上那就成功了。

  以上是笔者解题时的思考过程。事实上,正式的答案比这个方法还要短,答案里直接指出△AMN?△PMN,然后∠MBP=∠MAN=∠MPN=60o,由三角形的外角,就可知∠PMB+60o=60o+2θ,得∠PMB=2θ。这个比笔者的想法更快一点。

  解题之先,其实很难知道方法好不好,就只是探索,能够有条有理找做出合理的假设,方便了之后的计算,也就够好了,很难要求一下子就想到极短极快的方法。通常很快的方法,是在第一次解题之后,想通想透了,然后把许多分支细节都省去,余下的留下来,才令人看来觉得很短很精妙。

  这点精简当然有它的吸引力,但也令到真正解题的思路隐藏了,读者看来就是无缘无故转了许多弯,也不知怎样想出来的。这篇希望做到的是,如实地表达出真实的解题思路,让读者参考一下。未必是最好的,但这点分析比较少见,即使奥数书里的分析,许多时还是比较简短,没这里详细。

  学数学其中一个难点,就是无论别人想出来的主意怎样好,最难就是明白他们怎样想出5分pk10来。有些人想出好主意来,但不代表他能够自觉自己怎样想出来的,于是主意多,但未必教得了别人。当然,也有些过程真是解释不了,有些主意是自己想了出来,也不知怎样想出来。刚好笔者这次解题的过程,都是能在自觉中完成,那就分享一下。

  解一道题目,回顾自己解题的策略,也回顾一下自己怎样思考这点策略,亦是一种反省和学习。 ■张志基

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  逢星期三见报

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